猜數字遊戲

猜數字遊戲 (1)

猜數字的遊戲有很多種，一種相當有名的，稱為幾 A 幾 B，典型的規則是，兩個人玩，雙方各準備一組四位數的數字，不讓對方知道。雙方輪流猜對方的數字，先猜中對方數字的人贏。當對方猜了一個數字時，你要告訴 對方一些線索，你要告訴他他的答案中，有多少個數字猜中，但放的位置不對，有多少個位置放了正確的數字，，比方說你的答案是4162，他猜的是2156， 那 1就是位置正確，數字也正確， 6 和 2 他有講到，但位置不對，就是猜到但位置不正確。回答的方式使用一種簡稱，位置正確的數字稱為 A，猜到但位置不正確的稱為 B，以剛才的例子來說，就要回答 1A2B，這也就是幾 A 幾 B 的名稱由來。

這個遊戲似乎是由猜顏色的遊戲演變而來的，只不過把要猜的四個位置換成了顏色，回答的方式改為使用幾黑幾白來回答，也有商品問世，有 個上面有許多洞塑膠盒子，可以讓你把有顏色的塑膠釘子插到上面，方便進行遊戲。好處是可以重複使用，不用浪費紙張，但顯然不比以紙筆進行遊戲方便。即使猜 的是顏色，仍然可以算是廣義的猜數字遊戲，因為本質上其實沒有什麼不同。這個遊戲簡單的調整一些參數，比方說四位數改成六位數、十進位改成十二進位、數字 可以重複或者不能重複、第一位可以是零、只能是零等等，就能有許多變形。這類遊戲是不是有什麼最佳的解法？以及多少次能解出來，我這裡沒有資料，但以典型 的規則來說，這個遊戲使用最簡單的方法：「第一次隨便亂猜，以後每次，依據對手給的提示，猜一個有可能的答案。」就已經有不錯的效果了。
也因此為這個方法如此簡單，當一些 BBS 提供猜數字遊戲時，我們可以使用自動程序來取代人力，賺取 BBS 金幣。

猜數字遊戲 (2)

雖然說靠著固定的演算法來猜數字，理論上是相當有效的，但自限於數學化的前提，往往會忽略了數學往往會簡化現實。方法的假設前提，忽略了數字本 身是不同的，面對於人類出題者， 5678 出現的機會絕對和 1479 是不同的，同樣的，當你面對的是人類答題者的話，如果你出的題目是1234，有很大的機會第一次就被猜中。即使雙方利用本質上完全相同的方法，如果能善用 對手的慣性，贏面的確很大。
那電腦出題又如何？細心的程式設計的確能讓出題及答題的參數非常的隨機，讓所有的取巧方式毫無著力點，也有可能設計出人工智慧能夠觀 察出對手的行為模式予以痛擊，不過一旦開始利用對手之前的行為模式作為往後判斷的依據，那你的的判斷也出現了模式，這時鹿死誰手還未可知。
但一般來說，不值得為這樣一個小東西來寫一大堆程式，比方說我的自動猜數字程式來說，該開始的版本，甚至一開始都猜同一個數字，每次 猜的方式都一樣，所以出題者聰明的話，可以選擇一個數字，讓程式每次都必須花費最大的回數才能猜中。解決的方法，就是使用亂數。但是，電腦的亂數基本上就 是一個亂數表，當你程式執行之後，要求亂數的時後，系統會依序把亂數給你，也就是說，程式執行後，每次的亂數序列都一樣，所以一般來說，程式設計者會在程 式開始時，設定一個特別的亂數表種子，設定依據通常都是時間的函數，絕大多數人都是直接把現在時間拿來當亂數表的種子。這樣，程式每次執行時，都會給出不 同的亂數了。
BBS 上的出題的方式還是有很多可能，奸詐一點的BBS 甚至可以不用出題，因為他不需先公布答案。但是使用亂數是最簡單的方式，即使如此，還是有許多可能，光是電腦上的亂數表就有好幾種了，選擇種子的方式也有 很多，就算是這些不管，我們要如何產生一個四個不同的數字呢？我的猜數字程式使用的方式是，先產生一個 0123 到 9876 之間的隨意亂數，然後檢查他是不是每一位都不同，如果不是的話，重新產生一個亂數，直到成功為止。這只是一種方式，你也可以產生一個介於 1 到 10*9*8*7之間的亂數 n，然後尋找第 n 個四個位數都不同的數字。

猜數字遊戲 (3)

BBS 上使用的不見得是這兩者，在猜數字遊戲風行的時候，我曾在某站上發現，每次上站之後，每次的答案，都是固定的一個序列，簡單的說，那個BBS 上沒有設定亂數種子，因此，光靠手動輸入，馬上都能一回合猜中，迅速成為暴發戶。但是，對於我們猜數字遊戲的主力不良牛來說，就沒有如此容易了。觀察我的 猜數字程式的紀錄之後，發現了一個有趣的現象，不良牛的預設數字並不是完全的亂數，他的第一位數和第二位數必定奇偶相反，後面幾位也有高於平均值的比例奇 偶相間。觀察到如此明顯的行為模式之後，馬上把這個模式利用進去，大膽的叫猜數字程式只猜前兩位奇偶相反的數字，加入這個規則之後，猜的回合數從平均五回 合多，變成平均三回合多，賺錢的效率明顯增加了。但是為什麼會造成這種現象呢？原來有一種舊的亂數表是奇偶相間的，對於亂數品質要求不高的情形下，還算堪 用，但在現在的狀況下，卻造成了有趣的現象。
但又為什麼後面幾位沒有必然奇偶相間呢？猜測的結果是不良牛產生四位數不同的數字，使用的方法應該是：先隨機從 0~9中選出一個數字，當作第一位，然後，在從 0 到 9 中隨機取出一個數字，如果和第一位不同，就當作第二位數字，如果和第一位一樣，那再隨機取一個數字，直到和第一位不同為止。第三，四位也用和第二位類似的 方式，從 0 到 9 中隨機取出一個數字，比較和前面幾位有沒有重複，有的話，重新挑一個數字，直到和前面幾位不同。在這個方法中，第二位和第一位其實不用作比較，因為一奇一 偶，一定不同，但我們猜不良牛的作者一定忽略了這點。依照這個方式，我們可以算出第三位和第二位奇偶相間的機率，也可以算出第四位和第三位奇偶相間的機 率，拿來和之間記錄的數字來統計，發現結果是吻合的。

猜數字遊戲 (4)

由於和統計的結果吻合，所以對於不良牛的出題方式就有了完整模型，剩下來的，就是要確定亂數種子，先用一般的方法猜個兩三次，得到前兩三次的答 案，然後這邊就開始利嘗試亂數種子，套進我們猜測的出題模型，看看會不會得到和面所得的答案一樣。這些嘗試都進行得很順利，而且得到不良牛使用的亂數種子 就是直接使用時間這個結論。
就這樣，又把之前的平均三次多猜中，降到平均一次猜中，一個不能再好的結果。
這個猜數字的最佳成果所帶來的收益成果，也不過就是那了一大堆不良牛金幣，除了送人，也不知道能有什麼用。最後，該站的出題程式也改了，給獎金額也做了限制。
也有其它能得到比較實際利益的猜數字遊戲，那就是猜密碼了。
和幾 A 幾 B 一樣，密碼的選擇，也是可以很隨機的，面對著設計良好的密碼檢查系統，猜出密碼的唯一的選擇，就只有花費天文數字時間的暴力搜尋了。很幸運的，猜密碼也是 一種廣義的猜數字遊戲，我們面對的出題者同樣也常常是有行為模式的人類，或者有行為模式的電腦程式。
比方說，對於一個常常連上的主機而言，即使是對於密碼安全相當重視的人，也不會選擇一個非常困難輸入的密碼。一般而言，情況甚至更 好，大多數人在實務上會把方便性的優先權放在安全性的前面。太長又複雜的密碼，不小心忘了怎麼辦，又很難打，常常會打錯。所以，絕大多數複雜而安全的密碼 就被物競人擇掉了。
為了解決人們討厭輸入複雜密碼的困擾，許多的軟體開始貼心的幫使用者記住密碼。可惜的是，這樣並不會帶給那些複雜難記得密碼任何福 利，反而更加打壓他們的生存。為什麼？軟體幫我們記住了複雜的密碼，那複雜密碼的難打性和難記性的困擾不就解決了嗎？為什麼反而更容易淘汰？原因很簡單， 由於軟體幫使用者記住了密碼，使用者不需要常常使用這個密碼，反而很容易就忘記了密碼，不要說複雜的密碼了，就算是簡單的密碼，久了不用，也很容易就忘 了。一般來說，這不會造成困擾，反正軟體幫你記住了，你記得住、記不住也就不重要了。但也許有一天，你換了新電腦了，更新軟體了，或者中毒了，也許有次有 急事使用別人的電腦，連上主機時，突然發現腦筋一片空白，完全忘了當初設定的密碼是什麼？猜了幾次，終於放棄了。從此以後，你發誓再也不用自己記不住的密 碼了，並且把他抄起來，貼在螢幕旁，而且所有的帳號都使用相同密碼。
所以，有了自動記憶密碼的軟體，只會讓密碼變的更簡單、更單純，也很少有人會沒事去改密碼。
所以，一般原則下，猜密碼的空間只要鎖定在「記得住」和「方便打」的交集就可以了。
可惜即使如此，我們還是很難像有些電視影集上演的，潛入別人的辦公室，打開電腦，試著猜了兩次密碼都拒絕存取，皺了皺眉頭，看到辦公桌上放了一張父女合照，靈機一動，打了那個女兒的名字，歡迎畫面就出來了。

猜數字遊戲 (5)

如果真的有要在 login: 和password: 的提示符號下，親手猜測密碼的話，login名稱 guest, password 空白的會有一點成功率。如果有已經知道一些帳號名稱，比方說 NT 的輸入密碼方塊會顯示上一個login 的帳號名稱，可以試著在密碼的欄位輸入帳號名稱，比方說帳號名稱如果是 weijr，可以是著猜猜看密碼是不是也是 weijr，如果不行，還可以試試看 weijr1, weijr2, weijr0，如果都不行，再猜一下 1234 試試看。
如果都不成功，不要喪氣，這是非常正常的，如果人在主機旁邊，可以看看桌子上，螢幕旁，或者旁邊牆上有沒有剛好貼有密碼，這個可能性在公開的環境中還不小。如果面對的是 Unix 主機，下面有一些可以嘗試的（帳號：密碼）組合：
StoogR:
　　　　wank:wank
　　　　root:D13HH[
　　　　root:D13hh[
　　　　root:wh00t!
　　　　gamez:lrkr0x
　　　　rewt:satori
　　　　hax0r:
　　　　friday:
也許已經有別人先偷偷裝好後門了。
如果都還不行，你還是可以隨意的猜測一些，猜越多，中獎率一定就越高，不過越多的嘗試，會顯現出越多的惡意。
用手猜密碼成功率高嗎？不高，不過我真的有猜中的經驗。
一般來說，沒有人會徒手去猜密碼的。
也可以用和幾 A 幾 B 的方法，靠者電腦連線程式自動化的去猜，但是，這就和徒手猜的一樣，過多的嘗試，會顯得具有侵略性，搞不好就會被抓起來。
所以一個小結論就是，除非是真的很差的密碼，沒有其它資訊輔助的狀況下，此路不通。
在此，思考的方向就要轉向機器是如何判斷密碼是正確的？顯然電腦的硬碟上面一定存有密碼的資料，用來和使用者的輸入比對，用來確定密碼 是否正確。但是，這樣的話，機器的管理者不就可以知道所有使用者的密碼了嗎？如果使用者剛好在其它的地方也使用了相同的密碼，那心懷不軌的管理員就可以堂 而皇之的借用這個使用者的帳號了。比方說好了，你在藍盒的密碼，如果剛好和你在椰林的密碼一樣，那藍盒的站長會不會用這個密碼幫你處理你在椰林的郵件？
的確有些站台他們會知道你的密碼，所以，他們才能提供一些特別的服務，比方說當你忘了密碼，他們可以幫你記起來，或者像是剛才說的幫你偷偷處理你在椰林的郵件。
藍盒以及絕大多數的 BBS 無法提供這種服務。
但這又是怎麼辦到的？如果說藍盒不知道使用者的密碼，又怎麼能檢查使用者的密碼是不是正確的？

猜數字遊戲 (6)

既然藍盒不知道你的密碼，又怎麼能檢查你輸入的密碼是不是正確的？
解決的方法是這樣的，藍盒上面不會存有你的密碼，但是我們存有一份經過編碼處理過的你的密碼。我們可以把編碼處理看成一個函數，F，你 的密碼如果是X，我們這裡就存有F(X)，比方說你的密碼 X 是 hello，那 F(X) 就會出來 Gjy3.U5xOfA 這樣一組沒有人看的懂得編碼，這樣，不管是藍盒的站長還是誰，只能看到 Gjy3.U5xOfA，看不到你的密碼 hello 了。
要比較使用者輸入 Y 和密碼 X 是不是一樣，只要比較F(Y) 和 F(X) 是不是一樣就行了。
我的數學系 b81同學們看到這個地方，一定會看到一點問題，沒有錯， F(Y) 和 F(X) 相同，不能保證 X 和 Y 相同，比方說另一個密碼 world 經過 F 處理後，也會成為 Gjy3.U5xOfA。所以呢，F 需要一點特殊要求，就是不同的密碼，經過 F 處理之後，也要得到不同的編碼，數學上說的就是 1 to 1 。實務上的要求沒有那麼嚴格，但至少，重複率要很低，非常的低。
另外一個問題是，BBS 的站長當然可以看BBS 的程式碼，也知道 F 的編碼過程，難道不能把 F 反解回來嗎？數學上來說，的確存在一個 F 的右反函數 G，使得 F(G(X))=X ，所以站長「只要能」找到這個 G，就可以偷得使用者的密碼了，但困難的就在於找到這個反解法。
已經知道編碼的方法，倒著回去，不就可以得到反編碼法了嗎？我曾經被這個問題困擾了一陣子，然後一步一步的把密碼編碼法拆解，然後看 到了不可逆的部分，終於相信了。其實不需要這樣子才能瞭解。這裡的不可逆，和數學的不可逆有點不一樣，事實上，前面已經說了，像 F 這樣的函數，的確存在足夠好的反函數，數學意義上它是可逆的。
什麼是這裡的不可逆，舉個例子比較快，比方說我們讓F(X) = 第 X 個質數的平方根小數點一位到十位。求出 n=F(X) 相當容易，只要拿出夠好的計算機，計算第 X 個質數，把小數點拿出來就可以了。但相反的，如果是已經知道了 n=F(X)，想知道 X 是多少，只得慢慢的找了。所以這裡的不可逆，只是很難找的意思，難到只能一個一個慢慢去試。
最難也只能這樣了，你沒有辦法阻止我一個一個去試。
但是，你怎麼知道只能一個一個去找，也許有捷徑？不用太驚訝，這是一類很古老的問題。還記得中學學的一元二次方程式嗎？或者多元一次聯立方程式？方程式就是我們的 F，解方程式就是尋找看看有沒有快速得到 G 的方法。
對幾千年前的人來說，F(X)=5X^3+6X^2+7X 已經夠好了。

猜數字遊戲 (7)

除了不可逆的編碼外，另外還是有一些軟體會使用可逆的編碼法，比方說，Windows 撥號網路的密碼記憶，為了不讓人輕易讀到它幫你記憶的密碼，所以加以編碼，但編碼又一定要可逆，因為視窗要幫你輸出密碼。
就某方面來說，這樣甚至比用明文記憶更糟。
還是回到前面的不可逆編碼，既然找不到快速的可逆解法，我們至少能慢慢把密碼試出來，雖著編碼方式的不同，試出來的時間當然也不同。比 方說，我們可以在兩天的時間之內，使用個人電腦，試出任何一個由英文字母，阿拉伯數字，標點符號，空白反正就是你鍵盤能夠直接敲出來或者加上 Shift鍵能敲出來的那些東西組成的密碼。反之，一般 Unix 的 crypt編碼，需要的時間就久多了，不是一兩年能夠出來的。
雖然，必須要慢慢去試，但是，我們還是有有趣的猜數字遊戲可以玩。
比方說台大計中好了，會要求學生、老師和職員，在申請帳號時，填寫一個預設密碼。當年我申請時，發現一堆人把申請單放在一個籃子內，我 根本就不用猜，就可以看到許多人的密碼了。這當然不夠有趣，有趣的是，計中限定你設定的密碼，必須前兩位是英文字母，後四位是數字，比方說， ab1234，那前兩位的英文字母可不可以用大寫？就我瞭解是可以的，但多數人都有疑惑，在對於大小寫沒有特別喜好的情況下，大多數人，在詢問職員和只用 小寫之間，會選擇後者。
這樣，大大的減少我們的搜索範圍和花費的時間。
26*26*10000 ，看起來是一個大數字，即使用很普通的個人電腦，也不需要花費幾小時就能試完。當然前提是，要先有編碼過的密碼表。一般的情形下，計中不會讓你看這個表，但在某些情況下，是可以拿到這個表的。也可以使用一些不太難的技巧，主動拿到這個表。
問題是解一個密碼，花費的時間不多，但我們需要猜很多密碼的時候，怎麼辦？

猜數字遊戲 (8)

面對一萬多個帳號，即使是只要試 aa0000 到 zz9999 之間的可能，也要花費不少時間。還好，這些數字之間，不是平等的， ab1234 永遠比 kt2493 吃香一點，但問題是，哪些數字是吃香的？我們知道，生日永遠是密碼選擇的主流，所以第一個數字是 0 的機率不小，第三個數字也常常是 0,1,2 ，如果你手上剛好有一份學號和生日的對照表，也許可以先試一下。但是，許多人並不是使用自己的生日，而是親朋好友的。況且，生日也不見得是平鋪直述的使 用，所以期望不要太高。另外，1234，5678， 7777這種數字，也比較吃香。與其花腦筋空想，不如使用統計的方式，把有人用過的密碼來做一統計。光是哪一位、哪一個數字、哪一個字母比較常用，已經有 不錯的效果了。
總之，雖然使用者隨時可以改密碼，但由於前面所說的，既然電腦都幫你記住密碼了，誰還會記得去改密碼？另外一方面，使用者很可能會誤會說，密碼一定要前兩位字母、後四位數字。所以，光是用這個方法，可以解出的密碼超過七成，甚至有九成以上的解碼率。
解出密碼有什麼用處呢？簡單的說，除了得到大家沒有良好的密碼習慣這個結論，並且感嘆一下外，似乎沒有什麼用處。這也不算是什麼用處，因為不需要解出密碼也知道結論。
還有什麼用處呢？連上別人的帳號，可以看別人的信，使用硬碟空間，不是什麼有意思的事情。但是，幫別人查成績，倒是蠻有趣的。

猜數字遊戲 (9)

說到查成績，其中也有一個猜數字遊戲。
查成績遊戲的第一版，雖然也需要輸入密碼，但由於當時作者技術上的限制，所以在輸入密碼後，查成績系統會利用學號，產生一個特別的數 字，利用學號和那個數字，就能查到成績了。問題就在於，數字是經由黑箱產生的，我們能看到數字，能看到學號，但我們不知道數字怎麼產生的。不過呢，一個很 明顯的現象是，班上的同學似乎產生的數字差不多，研究室內的許多人，都知道一些密碼，一個一個拿來試試，證實了這個結論，而且，觀察到了，某個學號是最小 值，然後向兩側上升，這樣的函數，該不會是一個開口向上的拋物線啊？
多試了幾個學號，證實了這個猜測，然後又試了一些別的系的學號，把整個黑盒子都解出來。
因此，在數學系的網路上，有了一個特別版的查成績服務，讓那些沒有在計中申請帳號的同學，也能查到自己的成績。
只讓在計中有帳號的同學能查成績，實在是一種不公平。
當然了，這招現在已經行不通了，不過呢，手上一堆帳號和密碼對照表，還是可以幫別人查成績的。
光查查成績似乎不夠有趣，那幫別人領錢又如何？

猜數字遊戲 (0)

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