誠實國之謎 (1)

Posted by TJ Wei on 星期一, 6月 12, 2000 with No comments
很久很久以前,有一個叫做誠實國的地方,他的鄰國則為說謊國,顧名思義,誠實國的國民都只會說真話,說謊國的人,都只會說謊話。雖說兩國的習俗是如 此不同,但兩個國家卻是相當友好的,畢竟只會說假話和只會說實話的人,相較於其它那些有時說謊有時誠實的人,都算得上是單純的。

  誠實國的國王很有錢,而且有一個很漂亮的女兒,雖然國王的女兒不是隨隨便便可以見到的,但在誠實國的好處就在這裡,我們不用擔心有什麼謠言。

  算一算國王的女兒也該到了適婚年齡,為了挑一個好一點的女婿,誠實國的國王於是舉辦了一個公開徵婚。附近各國的王公貴族,以及本國的青年才俊,紛紛前來參加。

  想來參加的人雖然成千上萬,但實際到場卻也只有寥寥十數人。一來本國的青年需要通過初試,有名額限制。二來國外來的嘉賓,只要稍微笨一 點的,都在通往誠實國和說謊國的許許多多叉路上,因為在問路時,無法分辨路人是誠實國還是說謊國的人,因而誤入歧途,來不及參加徵婚,運氣差一點的,甚至 成為野獸的晚餐了。

  總之,這十幾個人都是一時之選,也有幾個鄰近強國的王子,要決定誰可以娶公主,必須要有客觀的標準,依照誠實國的傳統,要能解答國王出的難題。

  國王拍了拍手,從旁邊進來了三個人,站在大廳的中央。國王於是說了,這三個人,一個是誠實國的人,總是說真話;一個是說謊國的人,總是 說假話;另外一個呢,有時誠實有時說謊,總之問他什麼問題,他都隨便回答。不過呢,他們誰誠實、誰說謊、誰隨便說,我們不知道。現在呢,如果讓你問他們每 個人一個問題,他們只能回答「是」或「否」,你只能藉由他們回答的答案來判斷他們的身份。你要怎麼問,才能確定他們的身份?

  誰能解得又快又好,我就把女兒嫁給誰。

  馬上呢,就有幾個人搶著回答,但顯然沒怎麼經過大腦,答完之後就被推出去斬首了。

  他們這些錯誤的方式,這裡就不浪費篇幅介紹了,總之呢,如果你還沒有看過和想過這個問題,不妨先暫停一下,花一點時間來想一想這個問題,等確定自己真的想過這個問題之後,再繼續看下去。下面呢,也會多空白個幾行,堅定你自己想一想的決心。


  在幾個人被砍頭之後,場面開始冷靜了,有的人埋頭苦思,有的人低頭不語,也有一些人,自知解不開,偷偷的溜走了。

  終於,也是應徵者之一,誠實國內一個素以研究數學聞名的老先生,打破沈默,站了出來。國王就說了:「久仰夫子之名,不知夫子有何高 見?」,老先生清了清喉嚨,說道:「不妨設此三人為集合 P={A,B,C},他們的身份誠實、說謊、隨便,為集合 Q ,則我們想求的解答可能有 #Q*(#Q-1)*(#Q-2) 種可能,又設「是」,「否」為集合 S,那他們三個人可能的回答可視為 SXSXS,又不妨假設我的第一個問題稱為 q1 …」

  「等一等!」從小數學一向不好的國王,聽到一大堆變數名稱,實在受不了,只好打斷老先生的話,「你這樣 P 啊 Q 啊的,朕實在聽不下去,能不能講白話一點?」

  老先生嘆了口氣,說道「好吧,草民不妨這樣講,這三個人的身份,可能性很多,我們計算一下可知,總共有六種可能性,這點想必陛下也很清 楚,如果陛下還不瞭解的話,可能對於排列組合之學要多加涉獵了,另外如果,可以的話,草民認為可將排列組合之學,加入敝國的國民教育課程之內,期使國…」

  國王又打岔了,「排列組合之學,朕還懂一點,不要講題外話。」老先生繼續說道:「我們所問的每個問題,都有「是」、「否」兩種,可能 的答案,總共問三題,所以,可能的回答有 2x2x2=8這麼多的可能性,但由於其中有一個人會隨便回答,所以不管我們怎麼問,都可能出現兩種回答的情況。如果我們能解答這個問題的話,那必須要能 提出一種問法,使得那三個人,只要身份不同,就會有不同的回答這樣,我們才能以回答的狀況,來決定他們的身份,但是一種身份可能性,會有兩組回答,所以我 們必須要有 6*2 種回答,才足以區分使用者的身份,但是呢,可能的回答只有八種,所以,不管如何問,至少一種回答,我們無法區分三個人的身份。」

  國王終於沒有打斷老先生的話,聽完了他的解答。這時,大廳內的其它應徵者,有的點頭稱是,有的則恨自己怎麼沒有早一步往不可能有解這方面想。

  國王說:「雖然說,朕還是不是很懂,但你的意思是,這個問題沒辦法解答?」

  老先生回答說:「草民正是此意。」

  究竟老先生的解答是否正確呢?難道公主真的就要嫁給這個老先生了?欲知後事如何,且聽下回分解。並且也可以利用這個時間自己驗證一下老先生的論點是否正確。

*註:這個題目跟一般流傳的題目:「誠實、說謊、隨便說三個人,問他們三個問題是非題來分辨誰是誰」不太一樣,因為這個故事裡的題目限制一個人只能問一個題目。這個一般流傳的題目,當然是有解答的,而且思考的過程還挺有趣的,讀者如果還沒見過,不妨也體會一下。

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